СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Abstract

В статье рассматриваются основные математические подходы к строгому построению множества действительных чисел: аксиоматический, посредством сечений Дедекинда, посредством фундаментальных последовательностей рациональных чисел и посредством бесконечных десятичных представлений. Цель исследования состоит в выявлении логических оснований, преимуществ, ограничений и областей применения указанных подходов. Используются сравнительный, структурно-логический и математико-аналитический методы. Показано, что конструкции Дедекинда и Кантора исходят из рациональных чисел, но по-разному устраняют их неполноту: первая кодирует число разбиением множества рациональных чисел, вторая – классом эквивалентности последовательностей. Десятичное представление удобно для вычислений и интуитивного понимания, однако требует специального устранения неоднозначности записей. Аксиоматический подход наиболее компактен в дальнейшей теории, но сам по себе не описывает явную модель действительных чисел. Обосновывается, что полученные конструкции изоморфны как полные упорядоченные поля, поэтому различия между ними относятся прежде всего к способу обоснования, а не к математическим свойствам результата.